Cara Menghitung Perbandingan: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

1. Pembuka

Perbandingan atau rasio merupakan konsep matematika yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Memahami cara menghitung perbandingan sangat penting karena aplikasinya luas, mulai dari membuat resep masakan, membaca peta, hingga menghitung pembagian keuntungan usaha.

Secara sederhana, perbandingan adalah teknik membandingkan dua nilai atau lebih dari besaran yang sejenis. Cara menghitung perbandingan dapat dilakukan dengan menggunakan konsep pembagian sederhana dan ditulis dalam bentuk pecahan atau tanda titik dua (:).

Dalam matematika, terdapat beberapa jenis perbandingan yang perlu dipahami, yaitu perbandingan senilai, perbandingan berbalik nilai, dan perbandingan bertingkat. Masing-masing jenis memiliki karakteristik dan rumus perhitungan yang berbeda namun tetap menggunakan prinsip dasar yang sama.

2. Pengertian Perbandingan dalam Matematika

Perbandingan adalah proses membandingkan nilai dari dua besaran atau lebih yang memiliki satuan sejenis. Dalam bahasa Inggris, perbandingan disebut ratio atau ratios. Perbandingan digunakan untuk menunjukkan hubungan antara dua atau lebih besaran dengan mengikuti pola kesamaan tertentu.

Penulisan perbandingan dapat dilakukan dalam beberapa bentuk. Misalnya, "3 banding 6" dapat ditulis sebagai 3:6 atau dalam bentuk pecahan 3/6. Bentuk perbandingan ini kemudian dapat disederhanakan menjadi bentuk yang paling sederhana, yaitu 1:2, dengan cara membagi kedua angka dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).

Sebelum membentuk perbandingan, ada dua syarat penting yang harus dipenuhi. Pertama, nilai yang dibandingkan harus memiliki satuan yang sejenis, seperti panjang, berat, atau waktu. Kedua, bentuk satuan nilai yang dibandingkan harus sama, misalnya sama-sama dalam centimeter (cm), kilogram (kg), atau menit.

Aplikasi perbandingan dalam kehidupan sehari-hari sangat beragam. Contoh paling umum adalah pembuatan peta yang membandingkan ukuran daerah asli dengan ukuran gambar menggunakan skala. Contoh lain adalah dalam pembuatan kue atau roti yang memerlukan perbandingan tertentu antara tepung terigu dan tepung tapioka untuk menghasilkan tekstur yang diinginkan.

3. Cara Menghitung Perbandingan Dasar

Untuk menentukan perbandingan secara umum, dapat menggunakan konsep pembagian yang sederhana. Langkah pertama adalah memastikan bahwa kedua besaran yang akan dibandingkan memiliki satuan yang sama. Jika satuannya berbeda, harus dikonversi terlebih dahulu ke satuan yang sama.

Setelah satuan disamakan, perbandingan dapat ditentukan dengan membagi kedua nilai tersebut. Misalnya, jika umur A adalah 10 tahun dan umur B adalah 20 tahun, maka perbandingan umur A dan B adalah 10:20. Perbandingan ini dapat disederhanakan menjadi 1:2 dengan membagi kedua angka dengan FPB-nya, yaitu 10.

Untuk menghitung hasil dari suatu perbandingan, dapat menggunakan rumus: Hasil X = (Perbandingan X / Total Perbandingan) × Total Hasil. Rumus ini sangat berguna ketika kita perlu membagi sesuatu berdasarkan perbandingan tertentu, seperti membagi keuntungan usaha atau membagi permen kepada beberapa anak.

Contoh penerapannya, jika seorang pengusaha dan investor membagi keuntungan dengan perbandingan 2:1 dan total keuntungan adalah Rp 90 juta, maka bagian pengusaha adalah (2/3) × Rp 90 juta = Rp 60 juta, sedangkan bagian investor adalah (1/3) × Rp 90 juta = Rp 30 juta.

4. Jenis-Jenis Perbandingan dan Rumusnya

Dalam matematika, perbandingan dibagi menjadi beberapa jenis berdasarkan hubungan antara variabel-variabel yang dibandingkan. Pemahaman tentang jenis-jenis perbandingan ini penting untuk menyelesaikan berbagai persoalan matematika dengan tepat.

1. Perbandingan Senilai

Perbandingan senilai adalah jenis perbandingan di mana jika salah satu nilai meningkat, maka nilai lainnya juga ikut meningkat dengan proporsi yang sama. Sebaliknya, jika salah satu nilai menurun, nilai lainnya juga ikut menurun. Perbandingan ini juga disebut sebagai perbandingan berbanding lurus atau proporsi.

Rumus perbandingan senilai adalah: a₁/a₂ = b₁/b₂ atau dapat ditulis sebagai a₁ × b₂ = a₂ × b₁. Contoh penerapan perbandingan senilai dalam kehidupan sehari-hari meliputi hubungan antara banyak barang dengan harga totalnya, jumlah liter bensin dengan jarak yang ditempuh, atau jumlah pekerja dengan total gaji yang dibayarkan.

Sebagai ilustrasi, jika harga 4 buah pensil adalah Rp 2.000, maka untuk menghitung harga 24 buah pensil (2 lusin), kita dapat menggunakan perbandingan senilai: 4/2.000 = 24/y, sehingga y = (24 × 2.000)/4 = Rp 12.000.

2. Perbandingan Berbalik Nilai

Perbandingan berbalik nilai adalah jenis perbandingan di mana jika salah satu nilai meningkat, maka nilai lainnya justru menurun. Sebaliknya, jika salah satu nilai menurun, nilai lainnya akan meningkat. Perbandingan ini juga disebut sebagai perbandingan berbanding terbalik.

Rumus perbandingan berbalik nilai adalah: a₁/a₂ = b₂/b₁ atau dapat ditulis sebagai a₁ × b₁ = a₂ × b₂. Contoh penerapannya meliputi hubungan antara kecepatan kendaraan dengan waktu tempuh, banyaknya pekerja proyek dengan waktu penyelesaian, atau jumlah hewan ternak dengan waktu menghabiskan pakan.

Contoh soal: Sebuah panti asuhan memiliki persediaan beras yang cukup untuk 20 orang selama 15 hari. Jika penghuni bertambah menjadi 25 orang, maka menggunakan rumus perbandingan berbalik nilai: 20 × 15 = 25 × x, sehingga x = 300/25 = 12 hari.

3. Perbandingan Bertingkat

Perbandingan bertingkat adalah perbandingan yang melibatkan lebih dari dua objek atau lebih dari satu perbandingan. Jenis perbandingan ini juga disebut perbandingan tidak langsung karena tidak bisa langsung melihat hasil perbandingan dalam soal.

Untuk menyelesaikan perbandingan bertingkat, kunci utamanya adalah menyamakan nilai perbandingan objek yang sama yang ada pada dua perbandingan berbeda. Caranya adalah dengan menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua nilai tersebut.

Misalnya, jika perbandingan A:B = 2:3 dan B:C = 4:5, maka untuk menggabungkannya, kita cari KPK dari 3 dan 4 (yaitu 12). Perbandingan pertama dikalikan 4 menjadi A:B = 8:12, dan perbandingan kedua dikalikan 3 menjadi B:C = 12:15. Sehingga perbandingan bertingkatnya adalah A:B:C = 8:12:15.

5. Perbandingan Terkait Skala dan Gambar Berskala

Skala merupakan salah satu aplikasi penting dari konsep perbandingan dalam kehidupan sehari-hari. Skala adalah perbandingan antara ukuran pada gambar atau peta dengan ukuran sebenarnya. Biasanya skala ditulis dalam bentuk 1:n, yang berarti setiap 1 satuan pada gambar mewakili n satuan pada keadaan sebenarnya.

Rumus dasar skala adalah: Skala = Jarak pada peta : Jarak sebenarnya. Dari rumus ini, kita dapat menghitung jarak sebenarnya jika diketahui skala dan jarak pada peta, atau sebaliknya. Misalnya, pada peta dengan skala 1:1.500.000, jarak 5 cm pada peta mewakili jarak sebenarnya 5 × 1.500.000 cm = 7.500.000 cm = 75 km.

Selain skala pada peta, konsep perbandingan juga diterapkan pada faktor perbesaran dan pengecilan. Faktor perbesaran adalah perbandingan antara hasil perbesaran dan ukuran awal benda, dengan nilai selalu lebih besar dari 1. Sementara faktor pengecilan adalah perbandingan antara hasil pengecilan dan ukuran awal, dengan nilai selalu kurang dari 1.

Contoh penerapan faktor perbesaran: Sebuah vas bunga setinggi 15 cm membentuk bayangan di layar setinggi 30 cm. Maka faktor perbesarannya adalah 30/15 = 2, yang berarti bayangan tersebut 2 kali lebih besar dari ukuran aslinya.

6. Perbandingan Berdasarkan Jumlah dan Selisih

Perbandingan berdasarkan jumlah digunakan ketika soal yang diketahui adalah total keseluruhan dari dua nilai atau lebih. Dalam soal, biasanya terdapat kata kunci seperti "jumlah", "total", atau "keseluruhan". Rumus yang digunakan adalah: Jumlah objek = (Jumlah rasio / Rasio yang diketahui) × Banyak objek yang diketahui.

Contoh soal perbandingan berdasarkan jumlah: Fany dan Fahri mempunyai permen dengan jumlah total 40 buah. Perbandingan permen Fany dan Fahri adalah 1:3. Untuk mencari jumlah masing-masing, pertama hitung jumlah perbandingan (1+3=4), kemudian bagian Fany = (1/4) × 40 = 10 buah, dan bagian Fahri = (3/4) × 40 = 30 buah.

Perbandingan berdasarkan selisih digunakan ketika soal yang diketahui adalah selisih dari dua nilai atau lebih. Kata kunci yang sering muncul adalah "selisih", "lebih banyak", atau "lebih tua". Rumus yang digunakan adalah: Selisih objek = (Selisih rasio / Rasio yang diketahui) × Banyak objek yang diketahui.

Contoh soal perbandingan berdasarkan selisih: Perbandingan umur kakak dan adik adalah 7:5. Jika selisih umur mereka 4 tahun, maka selisih perbandingan adalah 7-5=2. Umur kakak = (7/2) × 4 = 14 tahun, dan umur adik = (5/2) × 4 = 10 tahun.

7. Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Untuk memperdalam pemahaman tentang cara menghitung perbandingan, berikut disajikan beberapa contoh soal dengan pembahasan lengkap yang mencakup berbagai jenis perbandingan.

Contoh Soal 1: Perbandingan Senilai

Soal: Sebuah mobil membutuhkan 4 liter bensin untuk perjalanan sejauh 72 km. Berapa liter bensin yang dibutuhkan jika mobil itu akan menempuh perjalanan 54 km?

Pembahasan: Ini adalah perbandingan senilai karena semakin jauh jarak, semakin banyak bensin yang dibutuhkan. Diketahui: 4 liter = 72 km, dan x liter = 54 km. Menggunakan rumus perbandingan senilai: 4/x = 72/54, maka x = (4 × 54)/72 = 216/72 = 3 liter. Jadi, mobil tersebut membutuhkan 3 liter bensin untuk menempuh jarak 54 km.

Contoh Soal 2: Perbandingan Berbalik Nilai

Soal: Proyek perbaikan jalan akan selesai selama 30 hari dengan 15 pekerja. Setelah 6 hari pelaksanaan, proyek dihentikan selama 4 hari. Berapa tambahan pekerja yang diperlukan agar proyek selesai tepat waktu?

Pembahasan: Sisa waktu awal = 30 - 6 = 24 hari, tetapi karena dihentikan 4 hari, sisa waktu menjadi 24 - 4 = 20 hari. Menggunakan perbandingan berbalik nilai: 24 × 15 = 20 × x, maka x = 360/20 = 18 pekerja. Tambahan pekerja yang diperlukan = 18 - 15 = 3 orang.

Contoh Soal 3: Perbandingan Bertingkat

Soal: Perbandingan jumlah pohon jambu dan pohon pisang adalah 7:4. Perbandingan pohon jambu dan pohon mangga adalah 2:3. Jika jumlah pohon pisang 16, berapa jumlah seluruh pohon?

Pembahasan: Misalkan J = jambu, P = pisang, M = mangga. J:P = 7:4 dan J:M = 2:3. KPK dari 7 dan 2 adalah 14. Maka J:P = 14:8 dan J:M = 14:21, sehingga J:P:M = 14:8:21. Total rasio = 14+8+21 = 43. Jumlah seluruh pohon = (43/8) × 16 = 86 pohon.

Contoh Soal 4: Perbandingan dengan Skala

Soal: Jarak kota A dan kota B pada peta adalah 2,5 cm. Jika jarak sebenarnya adalah 75 km, tentukan skala peta tersebut.

Pembahasan: Jarak sebenarnya = 75 km = 7.500.000 cm. Skala = Jarak pada peta / Jarak sebenarnya = 2,5 / 7.500.000 = 1 / 3.000.000. Jadi, skala peta tersebut adalah 1:3.000.000.

8. FAQ (Pertanyaan yang Sering Diajukan)

1. Apa yang dimaksud dengan perbandingan dalam matematika?

Perbandingan atau rasio adalah teknik membandingkan dua nilai atau lebih dari besaran yang sejenis. Perbandingan ditulis dalam bentuk a:b atau a/b, di mana a dan b adalah dua besaran dengan satuan yang sama. Perbandingan digunakan untuk menunjukkan hubungan proporsional antara dua atau lebih besaran.

2. Bagaimana cara menyederhanakan perbandingan?

Cara menyederhanakan perbandingan adalah dengan membagi kedua angka dalam perbandingan dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari kedua angka tersebut. Misalnya, perbandingan 12:8 memiliki FPB 4, sehingga dapat disederhanakan menjadi (12÷4):(8÷4) = 3:2. Perbandingan yang sudah dalam bentuk paling sederhana lebih mudah untuk digunakan dalam perhitungan.

3. Apa perbedaan antara perbandingan senilai dan berbalik nilai?

Perbandingan senilai adalah perbandingan di mana jika satu variabel bertambah, variabel lainnya juga bertambah dengan proporsi yang sama. Contohnya hubungan antara jumlah barang dan harga. Sedangkan perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan di mana jika satu variabel bertambah, variabel lainnya berkurang. Contohnya hubungan antara kecepatan kendaraan dan waktu tempuh.

4. Bagaimana cara menghitung perbandingan bertingkat?

Untuk menghitung perbandingan bertingkat, kunci utamanya adalah menyamakan nilai perbandingan objek yang sama pada dua perbandingan berbeda dengan mencari KPK-nya. Misalnya jika A:B = 2:3 dan B:C = 4:5, cari KPK dari 3 dan 4 (yaitu 12), lalu kalikan masing-masing perbandingan sehingga nilai B sama-sama 12, kemudian gabungkan menjadi A:B:C.

5. Apa syarat yang harus dipenuhi sebelum membuat perbandingan?

Ada dua syarat utama sebelum membuat perbandingan. Pertama, nilai yang dibandingkan harus memiliki satuan yang sejenis, seperti panjang, berat, atau waktu. Kedua, bentuk satuan nilai yang dibandingkan harus sama, misalnya sama-sama dalam cm, kg, atau menit. Jika satuannya berbeda, harus dikonversi terlebih dahulu ke satuan yang sama.

6. Bagaimana cara menghitung perbandingan berdasarkan jumlah?

Perbandingan berdasarkan jumlah digunakan ketika diketahui total keseluruhan. Rumusnya adalah: Jumlah objek = (Rasio objek / Total rasio) × Total keseluruhan. Misalnya jika perbandingan A:B = 2:3 dan total 50, maka total rasio = 2+3 = 5, sehingga A = (2/5) × 50 = 20 dan B = (3/5) × 50 = 30.

7. Apa itu skala dan bagaimana cara menghitungnya?

Skala adalah perbandingan antara ukuran pada gambar atau peta dengan ukuran sebenarnya. Rumusnya adalah: Skala = Jarak pada peta : Jarak sebenarnya. Misalnya skala 1:100.000 berarti 1 cm pada peta mewakili 100.000 cm (1 km) pada keadaan sebenarnya. Untuk menghitung jarak sebenarnya, kalikan jarak pada peta dengan angka skala.